Die Annahme einer unendlichen Menge ist widersprüchlich

Auf der Grundlage der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre (ZF) unter Hinzunahme eines einfachen Satzes, der selbst keines Beweises bedarf, lässt sich ein Widerspruch ableiten.

Es gilt ZF sowie der Satz: Eine größere Menge (Obermenge) lässt sich aus einer kleineren Menge (echte Teilmenge, Untermenge) nur durch hinzufügen eines noch nicht in der Untermenge enthaltenen Elementes erzeugen.

(Man beachte: In der Mengenlehre ist eine Menge eine Klasse, der eine Kardinalzahl zugeordnet werden kann, im Gegensatz zu den echten Klassen, die keine Kardinalzahlen besitzen. Mengen können größenmäßig verglichen werden während echte Klassen nur in Ausnehmefällen miteinander verglichen werden können.)


Kurz:

Es kann keine Obermenge natürlicher Zahlen zu den Mengen
{1}, {1, 2}, {1, 2, 3}, ...
geben, da keine natürliche Zahl mehr zur Verfügung steht um eine noch
größere Menge zu bilden.


Etwas ausführlicher:

Ich nenne ein Element einer Obermenge, das in einer Mengenfolge in einer Teilmenge der Obermenge schon aufgetreten ist, ein "verbrauchtes Element".
Gegeben: Mengenfolge M = {1}, {1, 2}, {1, 2, 3}, ...,
mit M_n = {1, 2, 3, ..., n} und n aus |N (|N := 1, 2, 3, ...).


Somit sind z.B. in dem Abschnitt {1}, {1, 2}, {1, 2, 3} von M für die
Obermenge {1, 2, 3, 4} die Elemente 1, 2, 3 schon verbraucht.
Offensichtlich sind die Elemente 1, 2, 3 in diesem Beispiel nicht
geeignet, eine Obermenge zu den drei Teilmengen {1}, {1, 2}, {1, 2, 3}
durch hinzufügen zu erzeugen.


Satz: In der Mengenfolge {1}, {1, 2}, {1, 2, 3}, ... werden alle
Elemente aus |N verbraucht.


Folglich lässt sich zu dieser Mengenfolge nicht durch hinzufügen
einer natürlichen Zahl eine weitere Obermenge bilden. Beweis: Alle
natürlichen Zahlen sind zur Bildung dieser Mengenfolge schon
verbraucht.
Folgerung: Die Mengenfolge {1}, {1, 2}, {1, 2, 3}, ... enthält die
größten Mengen, die mit ausschließlich den natürlichen Zahlen 1, 2,
3, ... gebildet werden können. Es gibt keine größte solche Menge.
Es gibt keine größere Menge natürlicher Zahlen als die Mengen, die in der Mengenfolge {1}, {1, 2}, {1, 2, 3}, ... enthalten sind.

Es gibt keine Menge {1, 2, 3, ...}.

Es gibt keine Menge natürlicher Zahlen mit der Kardinalzahl aleph_0.


Eine andere Formulierung des Sachverhaltes:

(Die Menge der natürlichen Zahlen soll die Kardinalzahl aleph_0 haben.)
Die natürlichen Zahlen 1, 2, 3, ... zählen sich selbst ab. Es kann nicht aleph_0 viele natürliche Zahlen geben, da es keine aleph_0-te natürliche Zahl gibt




Frühere Ansätze:

Eine Formulierung der elementaren Antinomie der Unendlichkeit

Gegeben sei eine Darstellung der natürlichen Zahlen in unitärer Schreibweise
wobei die Zahlen, bei 1 beginnend, aufsteigend jeweils in aufeinander
folgenden Zeilen eingetragen sind und die einzelnen Zeichen jeder Zahl
jeweils in einer Spalte, so dass die ersten Zeichen jeweils in der ersten
Spalte dieser Liste, die zweiten Zeichen jeweils in der zweiten Spalte, die dritten
Zeichen jeweils in der dritten Spalte, usw., eingetragen sind.

Aufgrund der modernen Anschauung in der Mathematik gilt nun, dass in jeder
Zeile endlich viele Zeichen eingetragen sind, dass aber in den Spalten, z.B.
in der ersten Spalte, unendlich viele Zeichen eingetragen sind, da die
Mächtigkeit der Menge der natürlichen Zahlen "unendlich" bzw. nach G.
Cantors Nomenklatur aleph_0 beträgt.

Nun soll in einer Zeile oberhalb der bisherigen Liste der natürlichen Zahlen eine weitere unitäre Zahl nach folgender Vorschrift gebildet werden:

In jeder Spaltenposition in dieser Zeile soll ein Zeichen eingetragen sein, genau
dann, wenn in der entsprechenden Spalte in mindestens einer der darunter
liegenden Zellen (Kreuzungspunkte von Spalte und Zeile) ein Zeichen eingetragen ist.

Nun stellt sich die Frage, wie groß die Menge der Zeichen in dieser neu gebildeten
Zeile ist. Es ergeben sich die folgenden zwei widersprüchlichen Befunde:

a) aufgrund der Konstruktion ist es unmöglich, dass die in der neuen Zeile
eingetragene Zahl größer ist als jede Zahl in den darunter liegenden
Zeilen. Jede der darunter liegenden Zahlen ist endlich, folglich muß auch
die in der neuen Zeile eingetragene Zahl endlich sein. Allerdings ist diese
Zahl unbestimmt, da sie mit keiner natürlichen Zahl identisch ist.

b) zwischen der Menge der in der neuen Zeile eingetragenen Zeichen und der
Menge der in der ersten Spalte eingetragenen Zeichen lässt sich eine
Bijektion herstellen, denn sowohl in dieser Zeile als auch in der ersten
Spalte lässt sich zu jedem Zeichen genau eine natürlichen Zahl eineindeutig
zuordnen. Graphisch ist diese Bijektion z.B. durch die Spiegelung der
Zeichen über die Winkelhalbierende der Liste leicht darstellbar. Aus
dieser Bijektion folgt aber, dass die Menge der Zeichen in der neu
gebildeten Zeile gleichmächtig ist zu der Menge der Zeichen in der ersten
Spalte und gleichmächtig zu der Menge der natürlichen Zahlen. Daraus folgt
aber, dass die Zahl in der neu gebildeten Zeile größer ist als jede
natürliche Zahl - was aber der Konstruktion dieser Zeile widerspricht.

Folgende Darstellung des Sachverhaltes mit dem Zeichen "1" soll den obigen Beweis illustrieren:

1111111111111111111111 ...   <-- aus der Liste generierte Zeile

1                                          <-- erste Zeile der Liste
11                                         <-- zweite Zeile der Liste
111                                        <-- dritte Zeile der Liste     1111                                        
11111                                         .
111111                                          .
1111111                                           .
11111111
111111111
.                .
.                  .
.                    .




Obiger Beweis zeigt, dass die Annahme der Existenz von unendlichen Mengen im Sinne eines aktualen Vorhandenseins unendlich vieler Elemente zu einem logischen Widerspruch führt.

Eine konkrete Vorstellung zu diesem Sachverhalt lässt sich über folgendes Modell entwickeln:

Gegeben sei ein Ursprung und eine Richtung. Nun stelle man sich vor, dass jede mögliche endliche Strecken (also insbesondere jeder möglichen Länge) von dem Ursprung aus beginnend in die vorgegebene Richtung abgetragen wird.

Es stellt sich nun die Frage: Gibt es eine Strecke die aus all diesen sich überlagernden Strecken resultiert? Wenn ja, wie lang ist diese Strecke? Kann diese Strecke länger sein als jede endliche Strecke aus der sie generiert wird? Wenn sie länger ist als jede endliche Strecke, woher kommt diese Erweiterung der Länge, über die Längen der generierenden Strecken hinaus? Aber: Wenn sie nicht länger ist als jede endliche Strecke, wie lange ist sie dann? Und wie kann sie unendlich lang sein?

Die widersprüchlichen Konsequenzen, die sich aus der Konstruktion ergeben zeigen, dass ein vollendetes unendliches Objekt in jedem Fall und immer mit Widersprüchen behaftet ist.

Eine weitere paradoxe Anschauung

Es werden zwei absolut zuverlässige, unzerstörbare (unendliche) Automaten , so genannte Aeternity-Automaten, angenommen.
Automat A macht nichts weiter als eine Zeile mit Zeichen "|" zu beschreiben.
Automat B schreibt in die erste Zeile "|", in die zweite Zeile "||", in die dritte Zeile "|||", usw.

Nun betrachten wir das Ergebnis der beiden Automaten, das im Unendlichen vorliegen muss.

Automat A hat eine Zeile mit unendlich vielen "|" erzeugt, also
|||||||||| ...

Autommat B hat eine unendliche Anzahl von Zeilen in der Form
|
||
|||
...

erzeugt.

Nun stellt sich die Frage:
Warum soll Automat A eine Zeile mit unendliche vielen "|" erzeugt haben, Automat B hat aber keine Zeile mit unendliche vielen "|" erzeugt?
Das Problem: Hätte Automat B eine solche Zeile erzeugt, so müsste es auch demzufolge eine unendliche natürliche Zahl geben.
Könnte Automat A aber keine Zeile mit unendliche vielen "|" erzeugen, wie sollte es dann unendlich viele natürliche Zahlen geben?

Eine Variation mag dieses Paradoxon noch weiter verdeutlichen. Wir haben einen weiteren Aeternity-Automaten C. Dieser Automat schreibt im ersten Zyklus in die erste Zeile ein "|".
In jedem weiteren Zyklus wird immer die Zeile 1 in die Zeile 2 kopiert und diese Kopie um ein "|" verlängert. Dann wird die Zeile 1 gelöscht, so dass die generierte Zeile 2 zur Zeile 1 wird.
Dieser Automat macht nichts anderes als Automat B; allerdings werden die vorhergehenden Zeilen der aktuellen Zeilen immer gelöscht.

Wie sieht das Ergebnis im Unendlichen aus? Liegt eine Zeile der Form
|||||||||| ...
vor?

Wenn nein, wie sähe dann die Darstellung dieser Zeile aus? Oder anders gefragt, was bedeutete dann z.B. 0.1111...?
Wenn ja, warum sollte dann der Automat B keine solche Zeile generieren können?

Die einzige konsistente Antwort ist die, dass das Ergebnis undefiniert ist. Warum sollte aber der Automat A ein definiertes Ergebnis (eine Zeile mit unendliche vielen "|") liefern können, die Automaten B und C aber nicht?

Albrecht S. Storz,
Mannheim, den 01.10.2010


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